Isometrías con coeficientes de reducción

En dibujo, hemos comenzado a  dar una parte que, técnicamente, ya sabíamos hacer: isometrías.

Consiste en, dadas las proyecciones de una figura (alzado, planta y perfil), dibujar cómo se vería en "3D". Es, básicamente, la representación mediante un engaño visual de objetos de 3 dimensiones sobre un elemento plano.

Este año, ha aumentado un poco la dificultad, ya que han incluído los "coeficientes de reducción", los cuales sirven para proporcionar mucho mejor los dibujos.

Os dejo aquí un artículo que lo explica muy bien:

La perspectiva axonométrica es un sistema de representación gráfico de objetos en 3 dimensiones en el espacio sobre un plano en 2 dimensiones. Al pasar de 3 dimensiones a 2 se pierde información y eso lleva consecuencias consigo. Afecta a los ángulos y a las dimensiones, como veremos a continuación.

Alteración en los ángulos: los ejes

Representaremos las 3 dimensiones del espacio mediante 3 ejes que en la realidad son perpendiculares (un triedro) y que en el dibujo veremos de forma plana, representados con diferentes ángulos.
Es lo que puedes ver en las fotografías de mi suelo. El ángulo en la realidad es siempre el mismo, las paredes forman constantemente un ángulo de 90º entre sí y también un ángulo de 90º con el suelo. En función del punto de vista (de dónde se sitúe el observador), variará la posición relativa de los ejes.
En axonometría, los ángulos se pueden utilizar libremente, en función del objetivo que se pretenda. El único requisito es que deben sumar 360º, obviamente, que son los grados de la circunferencia completa.

Alteración en las dimensiones: los coeficientes de reducción

Como hemos visto, al dibujar en perspectiva (al igual que al tomar fotografías) los ángulos se ven alterados con respecto a la realidad. De la misma manera ocurre con las dimensiones.
Al ver los objetos en perspectiva las dimensiones se reducen en relación con las dimensiones reales del objeto. Para aplicar eso al dibujo utilizamos los llamados coeficientes de reducción.
Los coeficientes de reducción son factores que se aplican a las dimensiones medidas en cada eje del dibujo, con la intención de paliar las deformaciones debidas a la perspectiva.
Estos coeficientes de reducción son variables y están en función del ángulo de la perspectiva.
Veamos cómo se obtienen gráficamente los coeficientes de reducción.

Determinar el coeficiente de reducción gráficamente en 7 pasos

Utilizaremos para ello los abatimientos. Pero no te asustes si no sabes cómo hacerlos todavía, es fácil.
Te explicaré paso a paso para que no te pierdas.
Una vez que tengas definidos los ángulos que forman los ejes entre sí, puedes leer los 7 pasos más abajo. Yo tomaré como ejemplo la axonometría en mitad de la parte inferior de las fotos del suelo.
 1. Prolonga cada eje en la dirección de los otros dos. Lo represento con línea discontinua.
 2. Dibuja una recta perpendicular en el ángulo opuesto a uno de los ejes. Así, tendrás que dibujar entre los ejes X e Y una recta perpendicular al eje Z..
 3. Traza el arco capaz del eje XY para el ángulo de 90º. Para ello, traza la mediatriz del segmento 1-2 y obtén el punto medio M. Con centro en este punto M, dibuja el arco de circunferencia entre 1 y 2.
 4. La prolongación del eje Z en su corte con el arco de circunferencia determina la posición del punto O abatido (O). Únelo con los puntos 1 y 2 y ¡ya tienes el plano del suelo abatido!

5. Con el plano abatido, ya puedes medir en verdadera magnitud. Divide los ejes X e Y en partes de 1cm cada una, empezando desde el punto O.
 6. Dibujando paralelas al eje Z, obtendrás los centímetros reducidos según la perspectiva axonométrica.

 7. Repite el proceso para el eje Z. Lo puedes hacer bien prolongando el eje X (como he hecho yo) o el eje Y. El resultado es lógicamente el mismo.

Así puedes obtener el coeficiente de reducción para cada eje de manera gráfica, sin calculadoras.
Como ves, para el eje X el coeficiente de reducción es 0.79, para el eje Y es 0.72 y para el eje Z es 0.93. Esto está en función de los ángulos que hayamos tomado para definir los ejes.

Perspectiva Isométrica

Dada la complejidad para trabajar con tantos coeficientes de reducción diferentes, la perspectiva axonométrica más utilizada es la isométrica, ya que en ella los tres ángulos formados por los ejes son iguales (120º) y, por tanto, sus coeficientes de reducción también.
El proceso para obtener gráficamente el coeficiente de reducción es el mismo que hemos seguido anteriormente. Los famosos 7 pasos
¿Eres capaz de hacerlo tú solo?
Te lo explico a continuación gráficamente.

Como ves, el coeficiente de reducción es de aproximadamente 0.816 y se mantiene constante para los 3 ejes. Eso es debido a que el ángulo que forman los ejes entre sí es el mismo.

Escala volante

Aprovechando que el coeficiente de reducción es el mismo en Isométrica para los 3 ejes y que esta es la perspectiva más utilizada, te resultará muy útil hacerte tu propia escala volante, para poder medir en isométrica donde quieras, sin necesidad de hacer el proceso cada vez.
Puedes recordar cómo se hace una escala volante en el artículo relativo a escalas.
Basta con que coloques el borde del papel como uno de los ejes y obtengas el coeficiente de reducción de la isométrica para ese eje.

Yo aún tengo la mía de cuando me la fabriqué en el instituto. La plastifiqué y me va a durar toda la vida.

Diferencia entre coeficiente de reducción y escala

Como habrás podido comprobar, coeficiente de reducción y escala no son lo mismo.
Escala: es una proporción entre la dimensión de un objeto y la dimensión de su dibujo. Pueden ser de ampliación, de reducción o puede ser escala natural (1:1).
Coeficiente de reducción: es un factor que se aplica a uno (o varios) de los ejes de una perspectiva para corregir percepción visual del objeto. Siempre son de reducción, como su propio nombre indica.
Por tanto, en un mismo ejercicio de perspectiva será necesario que apliquemos ambos mecanismos.
Veámoslo con el ejemplo sencillo de un prisma.

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Aplicación de coeficiente de reducción y escala a ejercicio tipo PAU

Dadas las vistas de una pieza a escala 1:2, se pide:
Dibujar la pieza en perspectiva isométrica a escala 2:3, aplicando coeficientes de reducción.

Aquí es donde empiezan a venir las complicaciones, porque hay que tener en cuenta dos escalas distintas (la escala a la que están presentadas las vistas de la pieza y la escala de la perspectiva que tendrás que dibujar) y aplicar los coeficientes de reducción.
Tengo que decirte que este es el caso más complejo y completo que pueden pedirte en cuanto a escalas y coeficientes. Lo normal es que no te pidan aplicar coeficiente de reducción o que al menos una de las escalas sea 1:1, con lo que ese valor no tendrás que modificarlo. En otras ocasiones te darán la acotación de las vistas, con lo que ya no tendrás que tomarlas en el dibujo.
Pero está bien empezar con el ejercicio más complejo, así vemos todas las posibilidades y cualquier otro ejercicio será más sencillo
Sigamos el proceso de razonamiento lógico. Conforme vayas cogiendo soltura, todo fluirá de manera más natural, pero para empezar es más seguro así.
   1. En primer lugar, hazte una escala volante para la escala de las vistas (1:2).
   2. Hazte ahora una escala volante para dibujar en la perspectiva (2:3).
   3. Por último, abate dos de los planos de la perspectiva, para poder medir sobre los tres ejes.
Deberás quedarte con algo como esto.

Es posible que te pueda parecer laborioso este proceso, pero una vez hecho, vas con la TOTAL SEGURIDAD Y TRANQUILIDAD de que estará bien hecho. Más vale tardar un poco más pero ir completamente sobre seguro, ¿no crees?
4. Con la primera escala volante (1:2) podrás medir directamente sobre las vistas para saber la dimensión real de la pieza. Ahora ya sabes que la pieza mide en la realidad 3.5 x 5.0 x 1.5 cm.

5. Una vez que conoces la dimensión real de la pieza, toma la segunda escala volante para medir sobre el plano abatido.
6. Desabate el plano. Llévate la dimensión que has marcado antes sobre el plano abatido a los ejes de la perspectiva.

 7. Por último, dibuja mediante paralelas el prisma


¡Y ahí está!
¿Te ha parecido un poquito largo o complicado? Es normal. Como digo, este es el tipo de ejercicio más difícil que te pueden poner en cuanto a escalas y coeficientes de reducción.
Y además, cuando lo hayas hecho un par de veces interiorizarás el proceso y no tendrás que seguir cada paso con tanta minuciosidad, sino que lo harás rápido sin problemas, te lo garantizo.
El secreto está en practicar.

El mismo proceso a la inversa

En muchas ocasiones el ejercicio será inverso:
Dada la perspectiva de la pieza a escala 2:3 para la que se han aplicado coeficientes de reducción, se pide:
Dibujar las vistas de la misma a escala 1:2.
Fíjate que el proceso es exactamente el mismo pero a la inversa:

1. Abatir los planos de la perspectiva.
2. Mediante paralelas a los ejes, llevar las medidas que nos interesan a los ejes abatidos.
3. Sobre los ejes abatidos, medir con la escala volante correspondiente a la perspectiva. En este caso la escala 2:3.
4. Llevar esa medida a las vistas, utilizando para ello la escala volante correspondiente a las vistas. En este caso la escala 1:2.
5. ¡Hecho!

La circunferencia en Isométrica

Dada la frecuencia con que se trabaja con circunferencias en Isométrica, no quería terminar el presente artículo sin dedicarle un apartado. La circunferencia en Isométrica se representa como un óvalo.
Partimos de un cuadrado en perspectiva en el que inscribiremos la circunferencia. Por ser un cuadrado, los 4 lados tienen la misma dimensión.
Según el dibujo que hay a continuación, tienes que seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar las diagonales del cuadrado en perspectiva: recta 1-2 y su perpendicular, para obtener el centro O del cuadrado.
2. Trazar dos rectas, una paralela al eje X y otra al eje Y, que pasen por el punto O. Así se obtienen los puntos A, B, C y D, que son los puntos de tangencia de la circunferencia
3. Dibujar las rectas 1-A y 1-C, para obtener los centros 3 y 4 de los arcos menores del óvalo. Los centros de los arcos mayores son los puntos 1 y 2.
4. Dibujar los 4 arcos de circunferencia: 1) Centro en 1, arco A-C; 2) Centro en 2, arco B-D; 3) Centro en 3, arco A-D; 4) Centro en 4, arco B-C

Ahora puedes hacerlo tú para los otros dos planos: YZ y XZ.
Me parece que con el artículo de hoy tienes ya un rato para trabajar. Siento que haya sido tan largo, pero prefería concentrarlo todo en un único artículo para que te fuera más fácil consultarlo.
Si quieres conocer todos mis trucos para resolver una pieza a partir de sus vistas, entra en este artículo.
Para entender la perspectiva caballera y aplicar escalas y coeficientes de reducción, no olvides visitar el artículo sobre caballera.

Fuente: https://www.10endibujo.com/axonometrias-y-perspectiva-isometrica/

Infierno

Dibujo Técnico. No sé qué pensar de ti. Me lo paso muy bien en clase y es la mejor asignatura del mundo, pero me inquieta el hecho de olvidarme constantemente de todo lo que damos.

No es una exageración, literalmente no recuerdo lo que dimos en la clase anterior. Nunca. Y ahora no le doy mucha importancia, pero cuando llegue selectividad creo que mi nota va a ser una gran decepción para muchos...

Os dejo un resumen de lo que estamos dando:

Representación y sección de la esfera

Representación de la esfera

Representado su centro O por sus proyecciones diédricas las proyecciones de ésta están definidas por dos circunferencias máximas de radios iguales al radio de la superficie: en proyección horizontal se aprecia el ecuador(circunferencia horizontal que pasa por el centro O) y en proyección vertical un meridiano frontal.

En la figura 1 se aprecia la proyección horizontal de un punto C perteneciente al ecuador y la proyección vertical de un punto D perteneciente al meridiano frontal.

Esfera

Determinación de puntos en la esfera

Para determinar la proyección horizontal de un punto D dado por su proyección vertical trazaremos por el un plano auxiliar horizontal Q, éste generará una sección circular en la esfera de diámetro AB y centro O. La proyección horizontal de D estará sobre la circunferencia sección mencionada en d1 o d2.

Si se tratase de localizar la proyección vertical de un punto de la esfera dado por su proyección horizontal nos auxiliaríamos de un plano frontal. Figura 2.

Secciones planas en la esfera

La sección generada por un plano en la esfera es siempre un círculo que será de radio máximo igual al radio de la esfera cuando el plano secante contenga al centro de la esfera.

Las proyecciones diédricas de esta sección se muestran generalmente como elipses salvo que el plano secante sea paralelo a uno de los planos de proyección en cuyo caso se apreciara la sección sin deformación en una de sus proyecciones diédricas, o cuando el plano secante sea proyectante, apreciándose en este caso la sección en una de las proyecciones diédricas como una recta de magnitud igual al diámetro de la circunferencia de la sección.

La sección generada en una esfera por un plano proyectante horizontal P se aprecia directamente en su proyección horizontal según un segmento c-d siendo c y d los puntos de intersección de la traza horizontal del plano con el ecuador y contorno aparente de la esfera.

Sección plana de la esfera

En proyección vertical la sección se proyectará según una elipse de eje menor horizontal c’-d’ y de eje mayor a’-b’, para determinar los puntos a´y b´ trazamos una recta vertical por x, centro del eje menor CD hasta cortar a la sección circular en proyección vertical generada por el plano frontal Q que contiene a A, B y X en proyección horizontal. (Ver determinación de puntos de la esfera en el apartado anterior).

A partir de los ejes mayor y menor a´-b´y c´-d dibujamos geométricamente la elipse, proyección vertical de la sección.

Podemos determinar la verdadera magnitud de la sección circular abatiendo los extremos de los ejes y trazando por ellos una circunferencia.

Para calcular la sección generada en la esfera por un plano oblicuo cualquiera realizaremos un cambio de plano hasta convertir el plano secante dado en proyectante. Figura 3.

Fuente: http://dibujotecni.com/sistema-diedrico/esfera-representacion-y-secciones/

Y un vídeo por si no lo habéis entendido:

EL retraso

Ay, dibujo técnico. Esa maravillosa clase en la que deberíamos llevar una velocidad de vértigo pero vamos más lentos que un caracol durmiendo.
Sí, no tiene ningún sentido. Lo lógico sería que, al ser una clase reducida (y tanto, somos 4), la materia se diera increíblemente rápido.

Pues no.

Las apariencias engañan: somos pocos pero la mar de tontos. Hay cosas que, según nuestro maravilloso profesor, son "de primero de primaria" y a nosotros nos cuesta 4 clases entender.

La verdad, no sé si nos dará tiempo a dar todo para selectividad, de hecho pienso que nos va a tener que dar clases extra pero no importa, porque creo que los cuatro estamos de acuerdo en que la hora de dibujo es la más amena de todas.

Os dejo un artículo de lo que estamos dando, a ver si os parece a vosotros también algo de primero de primaria:

Tetraedro. Representación, desarrollo y secciones planas.

Tetraedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección.

El Tetraedro se puede considerar como una pirámide recta y regular, de cuatro caras idénticas y cuya base, y por tanto sus caras laterales son triángulos equiláteros. Los lados de estos triángulos son las aristas de la superficie.

Dibujamos una de estas caras sobre el plano horizontal de proyección para una magnitud arbitraria de la arista y completamos esta vista dibujando la proyección del vértice superior V que coincide con el centro del triángulo.

Para dibujar la proyección vertical, tendremos en cuenta que la magnitud de la altura del tetraedro está en función de la magnitud de sus aristas. Ésta es el cateto mayor de un triángulo rectángulo, siendo el cateto menor la proyección horizontal de una de las aristas (v-b) y la hipotenusa, la verdadera magnitud de dicha arista.

Determinada la altura h dibujamos la proyección vertical del cuerpo. Figura 1.

Tetraedro con una de sus caras apoyada en el plano horizontal de proyección. Desarrollo.

Desarrollo.

El desarrollo se ejecuta como en la pirámide recta. En cualquier caso tenemos que dibujar en verdadera magnitud las cuatro caras triangulares del cuerpo con el mayor número posible de aristas comunes. Figura 1.

Tetraedro con una de sus aristas contenida en plano horizontal de proyección siendo otra horizontal.

Cuando el tetraedro está en esta posición, el contorno aparente de sus aristas en proyección horizontal es un cuadrado. 

Las diagonales de este cuadrado son las aristas “contenida y paralela” al plano horizontal de proyección (a las que se hace referencia en el título) que están en verdadera magnitud. Dibujaremos por tanto un cuadrado a partir de sus diagonales de valor igual al valor constante de la arista del cuerpo. Figura 2

La altura -h- del cuerpo es la mínima distancia existente entre las dos aristas mencionadas o, la distancia entre los puntos medios m y n de ambas. Dicha altura es, a su vez, cateto mayor de un triángulo rectángulo de cateto menor la mitad de la arista del cuerpo e hipotenusa la apotema (o altura) de una de las caras según se advierte en la ilustración de la figura 3. Determinada la altura, dibujamos la proyección vertical del cuerpo.

Tetraedro con una de sus aristas contenida en plano horizontal de proyección siendo otra horizontal.

Tetraedro con una de sus caras apoyada en un plano cualquiera.

Tetraedro con una de sus caras apoyada en un plano cualquiera.

Dado el plano oblicuo Q, dibujaremos sobre él un tetraedro de arista definida y centro O de dicha cara en él contenida.

Abatimos el centro O dado sobre uno de los planos de proyección, en el ejercicio de la figura 4 sobre el plano horizontal de proyección, y dibujamos en verdadera magnitud, el triángulo equilátero de la cara del tetraedro correspondiente a este centro.

Desabatimos el plano Q y con él la cara ABC dibujada obteniendo de este modo su proyección horizontal. Calculamos la proyección vertical auxiliándonos de rectas del plano (en el ejemplo, horizontales) que contengan a los puntos A. B y C.

El vértice superior V del tetraedro está sobre una recta perpendicular al plano Q  que contiene a la base, trazada por el  centro O.

Su posición sobre esta perpendicular queda determinada por la altura del tetraedro que, como sabemos, está en función de la arista del cuerpo. Determinamos la altura h sobre la cara abatida como en el ejercicio de la figura 1.

Para situar sobre la recta perpendicular al plano Q, a partir del punto O, la magnitud de la altura, tomamos un punto arbitrario M de esta recta y calculamos la verdadera magnitud del segmento O-M mediante giro. Sobre el segmento o’-M₁ (en verdadera magnitud) y a partir de o’, llevamos la altura h determinada y obtenemos el punto V₁. Deshaciendo el giro queda determinada la proyección vertical v’ buscada, del vértice superior.

Secciones planas del Tetraedro.

Sección por un plano oblicuo.

Dado el cuerpo por sus proyecciones calcularemos la sección generada por el plano secante P en él mediante un cambio de plano vertical. Mediante este cambio el plano secante queda convertido en proyectante vertical de modo que podemos apreciar la sección directamente en las nuevas proyecciones verticales de la figura.

Verdadera magnitud de la sección.

Para mayor brevedad abatimos, sobre el plano horizontal de proyección para su cálculo, la traza vertical P’1 del plano secante obtenida tras el cambio y a partir de ella el propio plano y el polígono de la sección en él contenido. Figura 5.

Sección por un plano oblicuo. Verdadera magnitud de la sección.

Sección producida por un plano de perfil.

La sección en este caso se aprecia directamente en ambas proyecciones (intersecciones de las trazas del plano con las proyecciones de las aristas del cuerpo) por ser el plano de perfil un plano proyectante. Para determinar la verdadera magnitud de la sección, abatimos el plano de perfil dado sobre el vertical de proyección. Figura 6

Sección producida por un plano que pasa por la línea de tierra.

Determinado el plano Q que pasa por la línea de tierra por el punto N, para resolver la sección nos auxiliaremos en este caso de una proyección de perfil.

Para ello dibujamos un plano de perfil P sobre el que proyectamos la figura y el punto N que determina el plano secante. Abatimos el plano de perfil sobre el plano vertical de proyección obteniendo la tercera proyección de la pieza y la traza con el plano de perfil del plano Q. En esta tercera proyección así obtenida podemos apreciar directamente la sección que el plano genera en el cuerpo pues el plano Q, por ser paralelo a la línea de tierra es perpendicular al de perfil y por tanto proyectante en su tercera traza Q”.

Calculando las proyecciones diédricas del triángulo sección así obtenido queda concluido el ejercicio. Figura 7.

Para resolver la verdadera magnitud de la sección se ha de tener en cuenta que el abatimiento de un plano que pasa por la línea de tierra se realiza de forma exactamente igual que si se tratara de cualquier otro plano.

Sección del tetraedro por un plano de perfil y por uno paralelo a la línea de tierra.

Fuente: http://dibujotecni.com/sistema-diedrico/tetraedro/

Chino ¿No?

Las tangencias y yo

Una bonita historia con final trágico.

A pesar del poco aprecio que le tenía a las tangencias en Dibujo Técnico, el año pasado conseguí pasarlas con increíbles resultados. Pensaba que las tenía dominadas, hasta que, este curso, nuestro preciado profesor nos dijo que rehiciéramos las láminas de tangencias del año pasado.

Cual fue mi sorpresa cuando, decidida a terminarlas en lo que duraba la lotería de Navidad -de la que no obtuve ni el reintegro-, me doy cuenta de que no sé hacer ninguna. Pero es que ni intentarlo. No soy capaz ni de empezar. Desastroso.

Para que no os ocurran estas cosas tan terribles en vuestras preciadas vidas, os dejo un artículo increíble sobre esta materia con el que, al menos, espero obtengáis ayuda, por mínima que sea.

Disfrutad:

Tangencias simples[editar]

Serán las tangencias más frecuentes y de fácil resolución. Dependen del orden en que se dan los datos para su ejecución.

Entre una circunferencia y una recta[editar]

Objetivamente hay dos casos principales:

Dada una circunferencia cualquiera a la cual se ha de trazar una recta tangente:

• En un primer paso se hace necesario identificar y representar el diámetro (A) de dicha circunferencia, que sea perpendicular a la dirección de la recta tangente. Luego ya es cuestión de trazar la recta por los extremos (R) del diámetro hallado o radio.^[1]

Dada una recta cualquiera en la cual se ha construir una circunferencia tangente:

• En un primer paso se hace necesaria trazar una perpendicular (A) sobre dicha recta en el punto de tangencia deseado. Luego ya es cuestión de identificar el centro de la circunferencia sobre dicha perpendicular (R) y trazar la circunferencia.

Entre dos circunferencias[editar]

Dada una circunferencia (N) a la que queremos trazar otra circunferencia tangente:

• En un primer paso es necesario trazar una recta que pasa por el centro de la circunferencia dada y por el punto de tangencia deseado (A). Luego se identifica el centro de la segunda circunferencia (R) para acabar trazándola.

Se observa que los dos centros de las circunferencias y el lugar de tangencia de éstas siempre están alineados.

Muerte.

Dibujo en un principio parecía una asignatura sencilla, con poca teoría que estudiar y mucha práctica.


Como siempre, me equivocaba.

Tengo que preparar en una sola tarde TOOOOOOOOOOOOOODA la teoría y práctica, las cuales constituyen en total unas 15 páginas de pura letra y 40 ejercicios. Lo peor de todo es que en esta asignatura no se le puede pedir un poco de ayuda extra a un compañero en medio del examen, porque solo somos 4 y nos sitúa en cada esquina de la clase. Una mierda.


Lo que estamos dando son homografías: homología, la afinidad, la homotacia, la traslación y el giro.

Dejo por aquí un artículo muy interesante que encontré en la red sobre esta "maravilla" (que no se note que no me gusta nada):

 

Definición
Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponden un punto y una recta de la otra. Dos secciones de una misma radiación son homológicas si se cumple que:

    Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
    Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.

Tipos de homología

Existen 2 tipos de Homología:

    Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
    Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.

Homologia 11
Determinación de una homología

Una homología queda determinada dando:

A) El centro, el eje y un par de puntos homólogos

B) El centro, el eje y un par de rectas homólogas

C) Tres puntos no alineados y sus homólogos. Los puntos homólogos estarán alineados con el centro de homología y las rectas homólogas que los unen se cortarán en el eje de homología.
El ejemplo más sencillo

Pongamos el caso A anterior. Dados un par de puntos homólogos A-A’, un Eje de Homología, un Centro de Homología V y el punto B, se pide: Determinar el punto homólogo del B dado. Homologia 01 Según la definición que he dado más arriba, “los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología”. Por tanto, el punto homólogo de B debe estar en la recta que une el centro V con B. Y atendiendo a la segunda parte de la definición “Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología”, la recta A-B debe cortarse con su homóloga en el Eje de Homología.

Así que unimos A con B y prolongamos hasta el Eje. Desde ahí unimos con A’ y sabemos que en esa recta va a estar B’. La intersección de las dos rectas anteriores determina la posición del punto B’ homólogo de B. Homologia 02 Por suerte, la homología no es mucho más complicada que esto. Está definida por unos puntos homólogos, un centro de homología y un eje. En los enunciados quitarán alguno de estos elementos para que lo deduzcamos a partir de los otros, pero en esencia es esto. Si por ejemplo en este ejercicio anterior, tuviéramos que obtener el punto homólogo de uno C dado, podemos utilizar tanto el punto A como el B de referencia, puesto que de ellos ya conocemos sus homólogos. Seguimos ambos caminos:

    Opción 1: unir C con el vértice V. Después unir A con C, prolongar la recta hasta el Eje y desde ahí unirla con A’. Obtendríamos así C’.
    Opción 2: unir C con el vértice V. Después unir B con C, prolongar la recta hasta el Eje y desde ahí unirla con B’. Obtendríamos así C’.

Homologia 03 Es como un juego, puedes ir por un camino o por otro.
Dos características muy útiles de la homología

Paso ahora a recordarte tres características que vimos en la Afinidad que también se cumplen para la homología y que nos serán de la máxima utilidad a la hora de resolver problemas. En realidad, la Afinidad no es más que un caso particular de la Homología.

    Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su homólogo en sí mismo. Son puntos dobles.
    Cuando una recta sea paralela al Eje, su recta homóloga también será paralela al Eje. Esto es lo mismo que decir que el punto de corte de dichas rectas homólogas se encuentra en el infinito

Rectas Límites de una homología

Recta Límite es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son siempre paralelas al Eje de Homología. El conocimiento de una recta límite equivale al de dos rectas homólogas. Por tanto, una homología queda definida dando el centro, el eje y una recta límite.
Cómo obtener las Rectas Límite de una homología

Las Rectas Límite se obtienen de igual manera, tanto para Homología Directa como para Homología Inversa, pero la posición de dichas Rectas Límite varía.

Veámoslo.

Dada una homología, por ejemplo, por un centro V, un eje E y un par de puntos homólogos A-A’ tomaremos un punto aleatorio 1=1’ contenido en el Eje y lo uniremos con el punto A y con su homólogo A’. Esto nos da dos rectas homólogas r y r’.

Trazaremos ahora dos rectas que pasen por el centro V:

    Una recta paralela a r, que cortará a r’ y definirá la posición de RL’.
    Otra recta paralela a r’, que cortará a r y definirá la posición de RL.

Como puedes comprobar en el dibujo, en ambos casos se sigue el mismo procedimiento. En cambio la posición varía.

    En una Homología Directa, las Rectas Límite se encuentran entre el Centro y el Eje.
    En una Homología Inversa, las Rectas Límite se encuentran fuera de la zona entre Centro y Eje.

En ambos casos, la distancia (d) desde el centro V a una Recta Límite es igual que la distancia desde el Eje a la otra Recta Límite.

Homologia 12


Ejercicio con Rectas Límite

Como he dicho anteriormente una homología puede venir definida por el centro, el eje y una recta límite. Se pide obtener el triángulo homólogo de A’B’C’. Homologia 07

    En primer lugar, puesto que se trata de una homología, uno el centro V con cada punto del triángulo.
    Prolongo la recta A’-C’ hasta los puntos de corte 1 y 2 con la recta límite y el eje respectivamente. Trazo una recta paralela a V-1 desde 2 y ahí quedan determinados los puntos A y C homólogos respectivamente de A’ y C’.
    Para obtener el punto homólogo de B’ puedo unirlo con C’, prolongarlo hasta el eje y desde ahí unirlo con C, tal como hemos hecho en el ejercicio anterior.

Homologia 09
La circunferencia en homología

Consideremos el caso de que nos dan una homología definida por el Eje de Homología, el Centro Homología y un par de puntos homólogos, en este caso el centro de la circunferencia y su homólogo.

Homologia 10



El método más sencillo para dibujar la figura homóloga de la circunferencia es dividiendo la circunferencia en 8 partes iguales, utilizando un diámetro paralelo al eje de homología, otro perpendicular y los dos últimos formando 45º.

El diámetro 1-5, puesto que es paralelo al eje, también lo será su homólogo desde el punto O’. Al encontrar el diámetro homólogo de 4-8, mediante paralelas al eje también podemos encontrar los puntos 2’ y 6’. Por último, encontrar el homólogo de 3-7.

Existen otras formas para encontrar ejes conjugados, el centro de la elipse, etc., pero por lo general, para el nivel de 2º de Bachillerato no serán necesarios. Homologia circunferencia
Problema de las Pruebas de Acceso a la Universidad

Dados el segmento AB, su homólogo A’B’ y el punto doble P=P’ todos en el plano del dibujo, se pide:

a)      Determinar el eje de la homología que definen

b)      Determinar el centro de la homología que definen

c)      Determinar la figura homóloga de un triángulo equilátero de lado AB Homologia 04

Bueno, esto es sencillo, ¿no?
Apartado 1

Retomamos la segunda definición que vimos al principio del artículo: “Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología”. ¿Qué significa eso? Que si los segmentos AB y A’B’ son homólogos, sus rectas se cortarán en el Eje de Homología. Y de las 3 características que te he definido en el apartado anterior, retomamos la primera: “Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su afín en sí mismo. Son puntos dobles”. Por tanto, si nos han dado un punto doble P=P’, podemos deducir que pertenece al Eje. ¡Así que ya podemos trazar el Eje de Homología!
Apartado 2

Para obtener el centro de homología te recuerdo la primera definición que hemos visto: “Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología”. Eso quiere decir que el Centro de Homología se encontrará sobre la recta que une los puntos homólogos A-A’. Y a su vez, también sobre la recta que une los puntos homólogos B-B’. El punto en que se cortan ambas rectas es el Centro de la Homología. Homologia 05
Apartado 3

Este apartado casi resulta aburrido de lo sencillo que es. Sin embargo me encanta, porque es como un juego, un divertido baile de líneas. El triángulo equilátero se obtiene con 2 arcos de circunferencia de radio A-B con centros primero en A y luego en B. Eso nos dará C. Para obtener el punto homólogo de C, podemos usar el camino que queramos, bien uniéndolo con A, bien con B. En este caso te recomiendo que utilices B porque, al tener una distancia mayor con respecto al Eje, será más preciso el dibujo. Como ves, es un juego sencillo y divertido. Conociendo las reglas, nos pueden poner el ejercicio que quieran, porque sabremos resolverlo.
Homologia 06
Resumen

Te resumo a continuación los 5 puntos imprescindibles que hemos visto:

    Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
    Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.
    Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su homólogo en sí mismo. Son puntos dobles.
    Cuando una recta sea paralela al Eje, su recta homóloga también será paralela al Eje.
    Con circunferencias, dividirlas en 8 partes iguales, utilizando para ello un diámetro paralelo al Eje de Homología, otro perpendicular y dos que formen 45º.

Cuaderno 10endibujo de Homología

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Homologías

En dibujo, normalmente,  nos dedicamos a dar un poco de teoría y, a continuación, comenzamos a hacer las láminas de esa teoría.

Suena aburrido pero, en realidad, es la mejor asignatura de todas porque solo somos 4 alumnos y es casi como una clase particular, además de que el profesor es muy cercano a nosotros.

Lo malo es si hacemos algo mal, porque se enfada con nosotros y nos grita ya que le sacamos de quicio (somos un poco cortos de mente). Además, a veces tardamos una hora entera para repetir una lámina, cosa que no le hace mucha gracia tampoco.

Lo malo es que nunca nos quiere poner música, y eso que a los del año pasado se la ponía. Pienso que va siendo hora de revolucionarnos para conseguir nuestro propósito.

¿Qué estamos dando?
Ahora mismo estamos dando las homologías, que consiste en transformar una figura en otra. La verdad es que realmente no sé muy bien cómo se hacen, pero con lo poco que sé y un poco de suerte en el azar voy sacando los ejercicios sin demasiada dificultad.

Aquí os dejo una pequeña definición orientativa para que entendáis de qué hablo:

Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponden un punto y una recta de la otra. Dos secciones de una misma radiación son homológicas si se cumple que:

1. Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
2. Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.

Tipos de homología

Existen 2 tipos de Homología:

• Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
• Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.

También dejo por aquí un vídeo sobre un problema de homografía que cayó en la selectividad de Extremadura en el 2008: